Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.
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Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
Lösungsvorschlag 1
Um beide Brüche verrechnen zu können, musst du diese auf einen Hauptnenner bringen.
Erweitere mit .
Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
Fasse den Zähler zusammen.
Kürze den Bruch mit .
Ziehe den Faktor vor den Bruch.
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Lösungsvorschlag 2
Da beide Brüche im Zähler ein haben, kann man dieses ausklammern.
Klammere aus.
Erweitere mit .
Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
Fasse den Zähler zusammen.
Kürze den Bruch mit .
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Beide Varianten liefern das Endergebnis .
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Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.
Umformung des Funktionsterms
Nun ziehst du vor den Bruch.
Ableiten der Funktion
Die Ableitung lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.
Es ergibt sich:
Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.
Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.
Die Ableitung von ist .
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Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.
Lösungsvorschlag 1:
Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..
Erweitere den Bruch mit 2.
Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
Fasse den Zähler zusammen.
Ziehe den Faktor vor den Bruch.
Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von .
Lösungsvorschlag 2:
Du kannst hier ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.
Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
Du kann hier ausklammern.
Erweitere den Bruch mit 2.
Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
Fasse den Zähler zusammen.
Kürze den Bruch mit 3.
Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von .
Beide Varianten liefern das Endergebnis .
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Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.
Umformung des Funktionsterms
Kürze mit 2.
Ziehe vor den Bruch.
Ableiten der Funktion
Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.
Schreibe in den Zähler.
Alternativ kannst du auch zu Beginn vor den Bruch ziehen und dann ableiten.
Die Ableitung von ist .